题目内容
(2006•朝阳区一模)已知函数f(x)=
,在x=1处取得极值为2.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间(m,2m+1)上为增函数,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)若P(x0,y0)为f(x)=
图象上的任意一点,直线l与f(x)=
的图象相切于点P,求直线l的斜率的取值范围.
ax |
x2+b |
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间(m,2m+1)上为增函数,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)若P(x0,y0)为f(x)=
ax |
x2+b |
ax |
x2+b |
分析:(I)由题意对函数求导,然后利用极值的概念列出关于a,b的方程,求解即可;
(II)由题意应该先求具体函数的单调增区间,然后利用已知的条件及集合的思想,建立的m取值范围的不等式組求解即可;
(III)找出直线l的斜率k=f′(x0),再利用换元法求出k的最小值和最大值,即可得到直线l的斜率的取值范围.
(II)由题意应该先求具体函数的单调增区间,然后利用已知的条件及集合的思想,建立的m取值范围的不等式組求解即可;
(III)找出直线l的斜率k=f′(x0),再利用换元法求出k的最小值和最大值,即可得到直线l的斜率的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)已知函数f(x)=
,
∴f′(x)=
又函数f(x)在x=1处取得极值2,
∴
即
⇒
∴f(x)=
…(4分)
(Ⅱ)∵f′(x)=
=
由f'(x)>0,得4-4x2>0,
即-1<x<1所以f(x)=
的单调增区间为(-1,1)
因函数f(x)在(m,2m+1)上单调递增,则有
,
解得-1<m≤0即m∈(-1,0]时,函数f(x)在(m,2m+1)上为增函数…(8分)
(Ⅲ)∵f(x)=
&∴f′(x)=
直线l的斜率k=f′(x0)=
,即k=4[
-
],令
=t,t∈(0, 1],
则k=4(2t2-t),t∈(0,1]
∴k∈[-
, 4],
即直线l的斜率k的取值范围是[-
, 4]…(14分).
ax |
x2+b |
∴f′(x)=
a(x2+b)-ax(2x) |
(x2+b)2 |
又函数f(x)在x=1处取得极值2,
∴
|
即
|
|
∴f(x)=
4x |
x2+1 |
(Ⅱ)∵f′(x)=
4(x2+1)-4x(2x) |
(x2+1)2 |
4-4x2 |
(x2+1)2 |
即-1<x<1所以f(x)=
4x |
x2+1 |
因函数f(x)在(m,2m+1)上单调递增,则有
|
解得-1<m≤0即m∈(-1,0]时,函数f(x)在(m,2m+1)上为增函数…(8分)
(Ⅲ)∵f(x)=
4x |
x2+1 |
4(x2+1)-4x(2x) |
(x2+1)2 |
直线l的斜率k=f′(x0)=
4(
| ||||
(
|
2 | ||
(
|
1 | ||
|
1 | ||
|
则k=4(2t2-t),t∈(0,1]
∴k∈[-
1 |
2 |
即直线l的斜率k的取值范围是[-
1 |
2 |
点评:考查学生利用导数研究函数极值的能力,利用导数研究函数单调性的能力,以及计算能力,解答的关键是导数工具的灵活运用.
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