题目内容

(2006•朝阳区一模)已知函数f(x)=
ax
x2+b
,在x=1处取得极值为2.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间(m,2m+1)上为增函数,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)若P(x0,y0)为f(x)=
ax
x2+b
图象上的任意一点,直线l与f(x)=
ax
x2+b
的图象相切于点P,求直线l的斜率的取值范围.
分析:(I)由题意对函数求导,然后利用极值的概念列出关于a,b的方程,求解即可;
(II)由题意应该先求具体函数的单调增区间,然后利用已知的条件及集合的思想,建立的m取值范围的不等式組求解即可;
(III)找出直线l的斜率k=f′(x0),再利用换元法求出k的最小值和最大值,即可得到直线l的斜率的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)已知函数f(x)=
ax
x2+b

f′(x)=
a(x2+b)-ax(2x)
(x2+b)2

又函数f(x)在x=1处取得极值2,
f′(1)=0
f(1)=2

a(1+b)-2a=0
a
1+b
=2
a=4
b=1

f(x)=
4x
x2+1
…(4分)
(Ⅱ)∵f′(x)=
4(x2+1)-4x(2x)
(x2+1)2
=
4-4x2
(x2+1)2
由f'(x)>0,得4-4x2>0,
即-1<x<1所以f(x)=
4x
x2+1
的单调增区间为(-1,1)
因函数f(x)在(m,2m+1)上单调递增,则有
m≥-1
2m+1≤1
2m+1>m

解得-1<m≤0即m∈(-1,0]时,函数f(x)在(m,2m+1)上为增函数…(8分)
(Ⅲ)∵f(x)=
4x
x2+1
&∴f′(x)=
4(x2+1)-4x(2x)
(x2+1)2

直线l的斜率k=f′(x0)=
4(
x
2
0
+1)-8
x
2
0
(
x
2
0
+1)
2
,即k=4[
2
(
x
2
0
+1)
2
-
1
x
2
0
+1
]
,令
1
x
2
0
+1
=t,t∈(0,  1]

则k=4(2t2-t),t∈(0,1]
k∈[-
1
2
,  4]

即直线l的斜率k的取值范围是[-
1
2
,  4]
…(14分).
点评:考查学生利用导数研究函数极值的能力,利用导数研究函数单调性的能力,以及计算能力,解答的关键是导数工具的灵活运用.
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