Question

（

x

+

1

4 x

）ⁿ展开式中各项系数的和为256．求：
（1）n的值；
（2）展开式中所有有理项．

Answer 1

分析：（1）由题意可得 2ⁿ=256，由此解得 n的值．
（2）先求得展开式的通项公式，在通项公式中令x的幂指数为有理数，求得r的值，即可求得展开式中有理项．

解答：解：（1）由题意可得 2ⁿ=256，解得 n=8．
（2）展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 8

•(

x

)8-r•x-

r

4

=

C

r 8

•x

16-3r

4

．
要使展开式的项为有理项，需r是4的非负整数倍，故r=0，4，8，
故展开式的有理项分别为T₁=

C

0 8

•x 4=x⁴，T₅=

C

4 8

•x 1，T₉=

C

8 8

•x -2．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题