Question

在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,棱长为a,M、N分别为AB₁和A₁C₁上的点,A₁N=AM.

(1)求证:MN∥平面BB₁C₁C;

(2)求MN的长的最小值.

Answer 1

(1)证明:作NE∥A₁B₁交B₁C₁于E,作MF∥AB交BB₁于F,连结EF,则NE∥MF.

∵NE∥A₁B₁,

∴.

又MF∥AB∥A₁B₁,∴.

∵A₁C₁=AB₁,A₁N=AM,

∴C₁N=B₁M.∴.

又AB=A₁B₁,∴NE=MF.

∴四边形MNEF是平行四边形,MN∥EF,且MN=EF.

又MN平面BB₁C₁C,EF平面BB₁C₁C,

∴MN∥平面BB₁C₁C.

(2)解:设B₁E=x.

∵NE∥A₁B₁,∴.

又∵MF∥AB,∴.

∵A₁N=AM,A₁C₁=AB₁=,B₁C₁=BB₁=a,B₁E=x,

∴.

∴.∴B₁F=a-x.

从而MN=EF=

.

∴当x=时,MN取得最小值为.