Question

已知数列{a_n}满足a₁=

25

4

，an+1-an=2n，当n=

 

时，

an

n

取得最小值．

Answer 1

分析：先由数列的递推关系式求得a_n=

25

4

+n²-n，再代入

an

n

利用基本不等式求得其最小值即可．（注意n为正整数）．

解答：解：因为a1=

25

4

，an+1-an=2n，
所以a_n=a_n-1+2（n-1）
=a_n-2+2（n-2）+2（n-1）
=a_n-3+2（n-3）+2（n-2）+2（n-1）
=…
=a₁+2×1+2×2+…+2（n-1）
=

25

4

+2×

(n-1)[1+(n-1)]

2

=

25

4

+n²-n．
∴

an

n

=

25

4n

+n-1≥2

25 4n •n

-1，当

25

4n

=n时取最小值，此时?n²=

25

4

，
又因为n∈N，故取n=3．
故答案为：3．

点评：解决本题的关键在于由数列的递推关系式求得a_n=

25

4

+n²-n，对与本题求数列的通项公式也可以用叠加法．