Question

在假期社会实践活动中，小明参观了某博物馆．该博物馆大厅有一幅壁画，刚进入大厅时，他在点A处看这幅壁画顶端点C的仰角为45°，往正前方走4m后，在点B处看壁画顶端点C的仰角为75°（如图所示）．
（1）求BC的长；
（2）若小明身高为1.70m，求这幅壁画顶端点C离地面的高度．（精确到0.01m，其中

3

≈1.732）．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，由条件求得∠ACB=75°-45°=30°．由正弦定理得

BC

sin45°

=

AB

sin30°

，将AB=4代入上式，求得BC的值．
（2）在△CBD中，先求得DC=4

2

sin75°，再利用两角和的正弦公式求得 sin75°=

6 + 2

4

，可得 DC=2+2

3

，从而求得CE=CD+DE的值．

解答：解：（1）在△ABC中，∵∠CAB=45°，∠DBC=75°，∴∠ACB=75°-45°=30°…（2分）
由正弦定理，得

BC

sin45°

=

AB

sin30°

，…（4分）
将AB=4代入上式，得BC=4

2

（m…（6分）
（2）在△CBD中，∵∠CBD=75°，BC=4

2

，∴DC=4

2

sin75°…（8分）
因为 sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

=

6 + 2

4

，…（9分）
则 DC=2+2

3

． …（10分）
所以CE=CD+DE=2+2

3

+1.70≈3.70+3.464≈7.16（m）…．（11分）
答：BC的长为4

2

m；壁画顶端点C离地面的高度为7.16m．　　　  …（12分）

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．