Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx满足条件：①对任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x）②函数f（x）的图象与y=x相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=2f（x）-18x+q+3，若存在常数t （t≥0），当x∈[t，10]时，g（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t，请求出t的值．（注：[a，b]的区间长度为b-a）

Answer 1

分析：（1）根据对任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x），分别代入解析式，即可得到关于a和b的一个方程，又函数f（x）的图象与y=x相切，可以得到方程ax²+bx=x有且只有一个解，从而列出关于a和b的方程，求解即可得到f（x）的解析式；
（2）求出g（x）的解析式为g（x）=x²-16x+q+3，根据0≤t＜10，f（x）在区间[0，8]上是减函数，在区间[8，10]上是增函数，且其图象的对称轴是x=8．故可分类讨论：①当0≤t≤6时，在区间[t，10]上，f（t）最大，f（8）最小；②当6＜t≤8时，在区间[t，10]上，f（10）最大，f（8）最小；③当8＜t＜10时，在区间[t，10]上，f（10）最大，f（t）最小，故可求常数t的值．

解答：解：（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx满足条件①对任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x），
∴a（x-4）²+b（x-4）=a（2-x）²+b（2-x），
∴（2x-6）（-2a+b）=0，
∴b=2a  
又函数f（x）的图象与y=x相切，
∴方程ax²+bx=x有且只有一个解，且b=2a，
∴ax²+（2a-1）x=0的两根相等，
∴△=（2a-1）²-4a×0=0，即（2a-1）²=0，
a=

1

2

，b=1，
∴f（x）=

1

2

x²+x；
（2）由（1）知，f（x）=

1

2

x²+x，且g（x）=2f（x）-18x+q+3，
∴g（x）=x²-16x+q+3，
∴g（x）图象的对称轴为x=8，
又∵x∈[t，10]，且t≥0，
∴g（x）在区间[0，8]上是减函数，在区间[8，10]上是增函数，
①当0≤t≤6时，g（x）在区间[t，8]上单调递减，在[8，10]上单调递增，
∴当x=t时，g（x）取得最大值g（t），
当x=8时，g（x）取得最小值g（8），
∵g（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t，
∴g（t）-g（8）=12-t，即t²-15t+52=0，
∴t=

15± 17

2

，
又t＞0时，
∴t=

15+ 17

2

；
②当6＜t≤8时，g（x）在区间[t，8]上单调递减，在[8，10]上单调递增，
∴当x=10时，g（x）取得最大值g（10），
当x=8时，g（x）取得最小值g（8），
∵g（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t，
∴g（10）-g（8）=12-t，即4=12-t，
∴t=8；
③当8＜t＜10时，g（x）在区间[t，10]上单调递增，
∴当x=10时，g（x）取得最大值g（10），
当x=t时，g（x）取得最小值g（t），
∵g（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t，
∴g（10）-g（t）=12-t，即t²-17t+72=0，
∴t=8或t=9，
又∵8＜t＜10，
∴t=9．
综合①②③可得，存在常数t=

15+ 17

2

或t=8或t=9，使得当x∈[t，10]时，g（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，二次函数在闭区间上的最值问题．求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．本题运用了待定系数法求函数的解析式．有关二次函数的性质，要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．属于中档题．