Question

已知圆x²+y²=25，△ABC内接于此圆，A点的坐标（3，4），O为坐标原点．
（1）若△ABC的重心是G(

5

3

，2)，求直线BC的方程；（三角形重心是三角形三条中线的交点，并且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍）
（2）若直线AB与直线AC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．

Answer 1

分析：（1）要求三角形顶点的坐标，可先将它们的坐标设出来，根据重心的性质，我们不难求出BC边上中点D的坐标，及BC所在直线的斜率，代入直线的点斜式方程即可求出答案．
（2）若直线AB与直线AC的倾斜角互补，则他们的斜率互为相反数，又由他们都经过A点，则可以设出他们的点斜式方程，代入圆方程后，求出BC两点的坐标，代入斜率公式，即可求证出正确的结论．

解答：解：设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由题意可得：

x1+x2+3 3 = 5 3 y1+y2+4 3 =2

即

x1+x2 2 =1 y1+y2 2 =1

，
又

x 2 1 + y 2 1 =25 x 2 2 + y 2 2 =25

，
相减得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=-1
∴直线BC的方程为y-1=-（x-1），即x+y-2=0
（2）设AB：y=k（x-3）+4，代入圆的方程整理得：
（1+k²）x²+（8k-6k²）x+9k²-24k-9=0
∵3，x₁是上述方程的两根，
∴x1=

3k2-8k-3

1+k2

，y1=

-4k2-6k+4

1+k2

同理可得：x2=

3k2+8k-3

1+k2

，y2=

-4k2+6k+4

1+k2

∴kBC=

y1-y2

x1-x2

=

3

4

点评：三角形重心的坐标是三角形三个顶点坐标的平均数，由重心坐标及任意两顶点的坐标，构造方程易求第三个顶点的坐标；已知三个顶点的坐标，代入重心坐标公式，即得重心坐标；如果已知重心坐标和其中一个顶点的坐标，则我们只能求出该顶点对边上中点的坐标．