Question

（本小题满分13分）
已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，且直线与轴交于点.（1）求证:，，成等比数列；
（2）设，，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）见解析；
（2）为定值且定值为

本试题主要是考查了解析几何与数列、不等式的综合运用。
（1）先设直线方程，然后利用题目中等比数列的关系得到各自的长度，进而证明。
（2）假设为定值，利用已知中向量的关系式，得到坐标关系，然后利用参数与坐标的关系表示得到证明。
解：(1)设直线的方程为：，
联立方程可得得: ① ………………………………2分
设，，，则， ②
， …………………………4分
而，∴，
即，、成等比数列…………………………………………………………6分
(2)法1：由，得，
，
即得：，， ………………………………………………………8分
则 ………………………………………………………10分
由(1)中②代入得，故为定值且定值为 ………………………………13分
法2：设直线的方程为：，，，，M(0,2)
联立方程可得得:………………………………………………8分由，得， ………10分
 即证.   ………………………………13分
法3：设直线的方程为：，，，，M(0,2)
由得：代入有：
，  同理：，
所以 故   ………………………………13分（注：该法可以不联立直线与抛物线的方程.）