Question

已知函数f(x)=-

1

2

+

1

2x+1

（1）证明：函数f（x）是奇函数．
（2）证明：对于任意的非零实数x恒有x f（x）＜0成立．

Answer 1

分析：（1）f(-x)=-

1

2

+

1

2-x+1

=-

1

2

+

2x

1+2x

，由此能求出函数f（x）的定义域为R，从而证明函数f（x）为奇函数．
（2）令g（x）=x f（x）由（1）易知函数g（x）为偶函数，由此能够证明对于x≠0的任何实数x，均有x f（x）＜0．

解答：解：（1）∵函数f(x)=-

1

2

+

1

2x+1

，
∴f(-x)=-

1

2

+

1

2-x+1

=-

1

2

+

2x

1+2x

…．（2分）
=-

1

2

+1-

1

1+2x

=

1

2

-

1

1+2x

=-f(x)…．（4分）
又函数f（x）的定义域为R，故函数f（x）为奇函数．…．（5分）
（2）证明：令g（x）=x f（x）由（1）易知函数g（x）为偶函数，…．（6分）
当x＞0时，由指数函数的单调性可知：2^x＞1，
∴1+2^x＞2，…．（7分）
可得0＜

1

1+2x

＜

1

2

，
∴-

1

2

＜-

1

2

+

1

1+2x

=f(x)＜0，
故x＞0时有x f（x）＜0．…．（8分）
又g（x）=x f（x）是偶函数，当x＜0时，-x＞0，
∴当x＜0时g（x）=g（-x）＜0，即对于x≠0的任何实数x，均有x f（x）＜0．…．（10分）

点评：本题考查奇函数的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性的合理运用．