Question

已知命题p：指数函数f（x）=（2a-6）^x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的两个实根均大于3．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据指数函数的单调性求出命题p为真命题时a的范围，利用二次方程的实根分布求出命题q为真命题时a的范围；
据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系将“p或q为真，p且q为假”转化为p q的真假，列出不等式解得．

解答：解：若p真，则f（x）=（2a-6）^x在R上单调递减，
∴0＜2a-6＜1，
∴3＜a＜

7

2

．
若q真，令f（x）=x²-3ax+2a²+1，则应满足

△=(-3a)2-4(2a2+1)≥0 ，- -3a 2 ＞3 f(3)=9-9a+2a2+1＞0

∴

a≥2或a≤-2 a＞2 a＜2或a＞ 5 2

∴a＞

5

2

，
又由题意应有p真q假或p假q真．
①若p真q假，则

3＜a＜ 7 2 a≤ 5 2

，a无解．
②若p假q真，则

a≤3或a≥ 7 2 a＞ 5 2

∴

5

2

＜a≤3或a≥

7

2

．

点评：本题考查复合命题的真假与简单命题真假的关系；考查二次方程实根分布．