Question

如图所示，在一个特定时段内，以点E为中心的10海里以内海域被设为警戒水域．点E正北40海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30°且与点A相距100海里的位置B，经过2小时又测得该船已行驶到点A北偏东60°且与点A相距20海里的位置C．
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）； 
（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先以点A为原点，正东方向为X轴正半轴建系如图，得出点B，C的坐标，再利用两点距离公式得BC从而求得小船速度即可；
（Ⅱ）欲判断它是否会进入警戒水域，只须比较圆心E到直线BC的距离圆的半径的大小即可．
解答：解析：（1）如图建立平面直角坐标系：设一个单位为10海里
则坐标平面中AB=10，AC=2 A（0，0），E（0，-4）
再由方位角可求得：B（5，5），C（3，）
…4分
所以|BC|==2
…6分
所以BC两地的距离为20海里
所以该船行驶的速度为10海里/小时
…7分
（2）直线BC的斜率为=2
所以直线BC的方程为：y-=2（x-3）
即2x-y-5=0…10分
所以E点到直线BC的距离为=＜1…12分
所以直线BC会与以E为圆心，以一个单位长为半径的圆相交，
所以若该船不改变航行方向则会进入警戒水域．…14分
答：该船行驶的速度为10海里/小时，若该船不改变航行方向则会进入警戒水域．
点评：本题考查已三角函数模型的应用问题，注意选择正确的坐标系以及合理的定理解答是解好题目的关键，考查计算能力．