Question

2．数列{a_n}与{b_n}均是等差数列，a_n：b₁=b_n：a₁=4，{a_n}的前n项的和是{b_n}的和的2倍，则两数列的公差d₁和d₂之比为26：1．

Answer 1

分析 由已知数据和等差数列的通项公式和求和公式可得a₁和b₁的关系，进而可由a₁表示d₁和d₂，可得比值．

解答 解：∵数列{a_n}与{b_n}均是等差数列，a_n：b₁=b_n：a₁=4，
∴a_n=4b₁，b_n=4a₁，
又∵{a_n}的前n项的和是{b_n}的和的2倍，
∴$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=2×$\frac{n（{b}_{1}+{b}_{n}）}{2}$
∴a₁+a_n=2b₁+2b_n，
∴a₁+4b₁=2b₁+8a₁，∴b₁=$\frac{7}{2}$a₁，
又a_n=a₁+（n-1）d₁=4b₁，b_n=b₁+（n-1）d₂=4a₁，
∴（n-1）d₁=4b₁-a₁=13a₁，∴（n-1）d₂=4a₁-b₁=$\frac{1}{2}$a₁，
两式相比可得d₁和d₂之比为13：$\frac{1}{2}$=26：1
故答案为：26：1

点评 本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属中档题．