Question

已知{a_n}为等比数列，其前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ+a，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由数列的前n项和求出前3项，利用等比数列的性质列式求出a的值，则首项和公比可求，通项公式可求；
（Ⅱ）把等比数列的通项公式代入b_n=（2n-1）a_n，然后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由S_n=2ⁿ+a，∴a₁=S₁=2+a，
a₂=S₂-S₁=（4+a）-（2+a）=2，a₃=S₃-S₂=（8+a）-（4+a）=4．
∵{a_n}为等比数列，∴a22=a1a3，即4=4（2+a），解得a=-1．
∴a₁=1，q=

a2

a1

=2．
则an=a1qn-1=2n-1；
（Ⅱ）把an=2n-1代入b_n=（2n-1）a_n，
得bn=(2n-1)2n-1．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-3）•2^n-2+（2n-1）•2^n-1①
2Tn=1•21+3•22+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)•2n②
①-②得：-Tn=1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)•2n．
∴Tn=(2n-3)•2n+3．

点评：本题考查了等比数列的和的公式和通项公式，训练了利用错位相减法求数列的和，考查了学生的计算能力，此题是中档题．