Question

16、如图：ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体．
求证：（1）A₁C⊥D₁B₁；
（2）A₁C⊥BC₁．

Answer 1

分析：（1）A₁C₁是线A₁C在面A₁B₁C₁D₁内的射影，A₁C₁⊥B₁D₁，据三垂线定理可得A₁C⊥B₁D₁ ．
（2）的证明方法同（1），证明BC₁和A₁C在面BCC₁B₁的摄影B₁C垂直，从而证明A₁C⊥BC₁．

解答：解：（1）连A₁C₁，由正方体的性质得，A₁C₁⊥B₁D₁，
又CC₁⊥面A₁C₁，A₁C₁是线A₁C在面A₁B₁C₁D₁内的射影，由三垂线定理可知，A₁C⊥B₁D₁ ．
（2）连B₁C，由正方体的性质得，BC₁和B₁C垂直，B₁C是A₁C在面BCC₁B₁内的摄影，
由三垂线定理可知，A₁C⊥BC₁．

点评：先找出面的垂线，再找面的斜线，斜线在面内的射影可见，若此面内的一条直线和射影垂直，则此面内的该线就和此面的斜线垂直．