Question

关于函数f(x)=2

2

sin(x-

π

4

)•cosx的四个结论：
①最大值为

2

-1；
②图象的对称轴方程为x=-

π

8

+

k

2

π(k∈Z)；
③函数的单调增区间为[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ](k∈Z)；
④图象关于点(

π

8

+

kπ

2

，-1)(k∈Z)对称．
正确结论的序号是

 

．

Answer 1

分析：f（x）=2

2

sin（x-

π

4

）cosx，利用正弦函数的性质对①②③④四个选项逐一判断即可．

解答：解：∵f（x）=2

2

sin（x-

π

4

）cosx
=2

2

（

2

2

sinx-

2

2

cosx）cosx
=2sinxcosx-2cos²x
=sin2x-cos2x-1
=

2

sin（2x-

π

4

）-1，
∴f（x）_max=

2

-1，即①正确；
由2x-

π

4

=kπ-

π

2

（k∈Z）得：x=

kπ

2

-

π

8

（k∈Z），
∴f（x）的对称轴方程为x=

kπ

2

-

π

8

（k∈Z），故②正确；
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得：kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]（k∈Z），故③正确；
由2x-

π

4

=kπ（k∈Z），得：x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z），
∴f（x）的图象关于点（

kπ

2

+

π

8

，-1）（k∈Z）成中心对称，故④正确；
综上所述，确结论的序号是①②③④．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的图象与性质的综合应用，属于中档题．