题目内容

已知数列{a_n}的前n项和a_n+1=2a_n+2，且a₁=2，数列 $数学公式$ 为等比数列，且b₁=2，b₄=4
（1）求{a_n}、{b_n}的通项公式
（2）已知c_n=a_n+2，求{c_n•b_n}的前n项和S_n．

解：（1）∵a_n+1=2a_n+2，
∴a_n+1+2=2（a_n+2），
∴ $\text{[math]}$ ，
∵a₁=2，
∴a₁+2=4，
∴{a_n+2}是以4为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n+2=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
∵数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，
∴{b_n}是等差数列，
∵b₁=2，b₄=4，
∴2+3d=4，
d= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）∵a_n=2ⁿ⁺¹-2．
∴c_n=a_n+2=2ⁿ⁺¹，
∴c_n•b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，①
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，②
①-②，得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
=8+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
=8+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
=8+2ⁿ⁺¹-4- $\text{[math]}$
=4- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由a_n+1=2a_n+2，知 $\text{[math]}$ ，再由a₁=2，得到a_n=2ⁿ⁺¹-2．数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，{b_n}是等差数列，由b₁=2，b₄=4，能求出{b_n}的通项公式．
（2）c_n=a_n+2=2ⁿ⁺¹，c_n•b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，再由错位相减法能求出{c_n•b_n}的前n项和S_n．
点评：本题考查数列的通项公式的求法和{c_n•b_n}的前n项和S_n．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意构造法和错位相减法的灵活运用．