Question

已知数列的前项和和通项满足（，是大于0的常数，且），数列是公比不为的等比数列，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出所有可能的实数的值，若不存在说明理由；

（Ⅲ）数列是否能为等比数列？若能，请给出一个符合的条件的和的组合，若不能，请说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）当时,

,整理得             

又由，得

结合q>0知，数列是首项为q公比为的等比数列， ∴  分

 (Ⅱ) 结合（Ⅰ）知，当q=2时，,所以                 

假设存在实数，使数列是等比数列，则对任意n≥2有

(c_n＋1＋λc_n)²＝(c_n＋2＋λc_n＋1)(c_n＋λc_n－1)，将c_n＝2ⁿ＋3ⁿ代入上式，得：

[2^n＋1＋3^n＋1＋λ(2ⁿ＋3ⁿ)]²＝[2^n＋2＋3^n＋2＋λ(2^n＋1＋3^n＋1)]·[2ⁿ＋3ⁿ＋λ(2^n－1＋3^n－1)]，

即    [(2＋λ)2ⁿ＋(3＋λ)3ⁿ]²＝[(2＋λ)2^n＋1＋(3＋λ)3^n＋1][(2＋λ)2^n－1＋(3＋λ)3^n－1］，

整理得(2＋λ)(3＋λ)·2ⁿ·3ⁿ＝0，解得λ=－2或λ=－3.   

故存在实数实数＝－2或－3，使使数列是等比数列.