Question

已知等比数列{a_n}的公比为q，前n项和S_n＞0（n=1，2，3，…），则q的取值范围是

q＞-1且q≠0

．

Answer 1

分析：首先判断出首项a₁＞0，分q是否为1，写出Sn的表达式，再用验证的方法考察S_n＞0时q的取值范围．

解答：解：当n=1时，a₁=S₁＞0，首项必为正数．
（1）当q=1时，Sn=na₁＞0，
（2）当q≠1时，Sn=a₁•

1-qn

1-q

①若q＞1，则1-q＜0，1-qⁿ＜0，S_n＞0成立．
②若0＜q＜1，则1-q＞0，1-qⁿ＞0，S_n＞0成立．
③若-1＜q＜0，则 1-q＞0，1-qⁿ＞0，S_n＞0成立．
④若q≤-1，则当n为偶数时，1-qⁿ≤0，S_n＞0不成立．
综上所述，q的取值范围是q＞-1且q≠0，
故答案为：q＞-1且q≠0

点评：本题考查等比数列的前n项和公式，分式不等式的解法．需具有良好的分类讨论的意识和能力．