Question

设数列 {a_n}的前n项和为S_n，且 S_n=2a_n-1（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列 {na_n}的前n项和为T_n，对任意 n∈N^*，比较与 S_n的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）由S_n=2a_n-1得S_n+1=2a_n+1-1，相减得：a_n+1=2a_n+1-2a_n，∴
又S₁=2a₁-1∴a₁=2a₁-1，a₁=1∴a_n=2^n-1（5分）
（Ⅱ）T_n=1•2ⁿ+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1①
2T_n=1•2+2•2²+…+（n-2）•2^n-2+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ②
①-②得-T=1+2+2²+…+2^n-2+2^n-1-n•2ⁿ，
则T_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1．（9分）
∴
∴当n=1时，，当n=2时，
即当n=1或2时，
当n＞2时，（13分）
分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-1和S_n+1=2a_n+1-1相减得a_n+1=2a_n+1-2a_n，所以，由此可求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由题设知T_n=1•2ⁿ+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，由错位相减求和法可知T_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1．所以，再分n=1，n=2和n＞2三种情况讨论与 S_n的大小关系．
点评：本题考查数列的性质、应用和通项公式的求法，解题时要注意错位相减求和法、分类讨论思想的灵活运用．