Question

【题目】已知函数的图象与轴的交点至少有一个在原点右侧．

（1）求实数的取值范围；

（2）令，求的值（其中表示不超过的最大整数，例如：，)；

（3）对（2）中的求函数的值域．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）分和两种情况讨论，在时进行验证即可，在时，由可分二次函数有且只有一个零点且为正零点、一个正零点和一个负零点、两个正零点三种情况进行分类讨论，由此可得出实数的取值范围；

（2）求出，可得出，然后分和两种情况讨论，根据定义得出的值；

（3）分、、三种情况讨论，在时代入函数的解析式计算即可，在时，利用函数的单调性得出该函数的值域，在时，考查，结合函数的单调性来得出值域，由此可得出函数的值域.

（1）①若，则，令，得，此时，函数只有一个正零点，合乎题意；

②若，由于.

（i）若函数有且只有一个零点且为正数，则，解得；

（ii）若函数有一个正零点和一个负零点，则，解得；

（iii）若函数有两个正零点时，则，解得.

综上所述，实数的取值范围是；

（2），.

当时，，此时；当时，，此时.

因此，；

（3）.

①当时，;

②当时，，，则单调递增，此时；

③当时，设，则，，

此时，在上单调递增，则.

设，

则.

当时，；当且时，，数列单调递增，；

设，当且，数列单调递增，

当时，.

所以，当时，函数的值域为.

综上所述，函数的值域为.