Question

在本次考试中共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的，得分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分”，某考生每道题都给出一个答案，该考生已确定有9道题的答案是正确的，而其余题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜，试求该考生
（1）选择题得60分的概率；
（2）选择题所得分数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）得分为60需12道题必须全做对．且最后3题的概率分别为：

1

2

，

1

3

，

1

4

，由独立事件的概率公式可得答案；
（2）ξ的取值范围为{45，50，55，60}，得分为45分表示只做对了9道题，其余各题都做错，可得P(ξ=45)=

1

2

•

2

3

•

3

4

=

6

24

，同理可得其余的概率，可得分布列，进而可得其期望值．

解答：解：（1）设得分为60分为事件A，得分为60分，12道题必须全做对．
在其余的3道题中，有1道题答对的概率为

1

2

，有1道题答对的概率为

1

3

，还有1道答对的概率为

1

4

，
所以得分为60分的概率为：P(A)=

1

2

•

1

3

•

1

4

=

1

24

…（5分）
（2）依题意，该考生得分ξ的取值范围为{45，50，55，60}              …（6分）
得分为45分表示只做对了9道题，其余各题都做错，
所以概率为P(ξ=45)=

1

2

•

2

3

•

3

4

=

6

24

…（7分）
得分为50分的概率为P(ξ=50)=

1

2

•

2

3

•

3

4

+

1

2

•

1

3

•

3

4

+

1

2

•

2

3

•

1

4

=

11

24

…（8分）
得分为55分的概率为P(ξ=55)=

1

2

•

1

3

•

3

4

+

1

2

•

2

3

•

1

4

+

1

2

•

1

3

•

1

4

=

6

24

…（9分）
得分为60分的概率为P(ξ=60)=

1

2

•

1

3

•

1

4

=

1

24

…（10分）
所以得分ξ的分布列为

ξ	45	50	55	60
P	6 24	11 24	6 24	1 24

数学期望Eξ=45×

1

4

+50×

11

24

+55×

6

24

+60×

1

24

=

605

12

…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的期望，涉及等可能事件，独立事件的概率的求解，属中档题．