Question

6．已知P（3，-1），N（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），M（6，2），直线l过P点，且与线段MN相交，则直线l的斜率的取值范围是（　　）

• A． [-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]
• B． [-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]
• C． （-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]∪[1，+∞）
• D． [-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]

Answer 1

分析 先由P（3，-1），N（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），M（6，2），求得直线NP和MP的斜率，再根据直线l的倾斜角为锐角或钝角加以讨论，将直线l绕P点旋转并观察倾斜角的变化，由直线的斜率公式加以计算，分别得到直线l斜率的范围，最后综合可得答案．

解答 解：∵P（3，-1），N（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
∴直线NP的斜率k₁=$\frac{\sqrt{3}+1}{-\sqrt{3}-3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
同理可得直线MP的斜率k₂=$\frac{2+1}{6-3}$=1．
设直线l与线段AB交于Q点，
当直线的倾斜角为锐角时，随着Q从M向N移动的过程中，l的倾斜角变大，
l的斜率也变大，直到PQ平行y轴时l的斜率不存在，此时l的斜率k≥1；
当直线的倾斜角为钝角时，随着l的倾斜角变大，l的斜率从负无穷增大到
直线NP的斜率，此时l的斜率k≤-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
综上所述，可得直线l的斜率取值范围为：（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]∪[1，+∞）．
故选：C．

点评 本题给出经过定点P的直线l与线段MN有公共点，求l的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．