Question

已知函数f(x)=

x3

3

-

a+1

2

x2+bx+a，其导函数f′（x）的图象经过原点．
（1）若存在x₀∈（-∞，0），使曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线的斜率等于-4，求a的取值范围；
（2）当a＞0时，求f（x）的零点的个数．

Answer 1

分析：（1）由已知f'（0）=0，得出b=0，进而求出函数f′（x）的表达式．再利用导数的几何意义，可得出a=x0+

4

x0

-1，利用基本不等式即可求出a的取值范围；
（2）利用导函数=0，列出表格如表，利用极值、单调性和函数零点的判断方法即可判断出零点的个数．

解答：解：f'（x）=x²-（a+1）x+b，由f'（0）=0，∴b=0，∴f'（x）=x²-（a+1）x．
（1）当x₀＜0时，f′(x0)=

x

2 0

-(a+1)x0=-4，
∴a=x0+

4

x0

-1=-(-x0+

4

-x0

)-1≤-2

(-x0)× 4 -x0

-1=-5，当且仅当-x0=

4

-x0

，x₀＜0，解得x₀=-2时取等号；
∴a的取值范围是（-∞，-5]．
（2）f'（x）=x²-（a+1）x．=x[x-（a+1）]，令f^′（x）=0，解得x=0，或a+1，
∵a＞0，∴a+1＞0，列表如下：
∴f（x）在（-∞，0]上递增，在[0，a+1]上递减，又在[a+1，+∞）上递增，
而f(-a-1)=-

5

6

(a+1)3+a=-

5

6

a3-

5

2

a2-

3

2

a-

5

6

＜0，f（0）=a＞0，f(a+1)=a-

1

6

(a+1)3=-

1

6

[a3+3(a-

1

2

)2+

1

4

]＜0f[(a+2)2]=(a+2)4(

1

3

a2+

5

6

a+

5

6

)+a＞0，
又-a-1＜0＜a+1＜（a+2）²，
故f（x）在（-a-1，0），（0，a+1），（a+1，（a+2）²）内各有一个零点，所以f（x）共有3个零点．

点评：本题考查了导数的综合应用，正确理解导数的几何意义和熟练掌握导数求出函数的极值与单调性及函数零点的判断方法是解题的关键．