Question

数列{a_n}的前n项和S_n，2S_n=（n+1）a_n，且a₁=1
（1）数列{a_n}的通项公式．（2）求{

1

anan+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）当n≥2，利用2s_n-2s_n-1=（n+1）a_n-na_n-1，可求得

an

an-1

=

n

n-1

，用累乘法可求得）数列{a_n}的通项公式；
（2）用裂项法即可求得{

1

anan+1

}的前n项和T_n．

解答：解：（1）当n≥2，2s_n-2s_n-1=（n+1）a_n-na_n-1，即2a_n=（n+1）a_n-na_n-1
        整理得：

an

an-1

=

n

n-1

，
∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

an-2

an-3

 …

a2

a1

•a1
=

n

n-1

•

n-1

n-2

…

2

1

•1
=n．
    （2）∵

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

点评：本题考查求数列通项与数列求和，求数列{a_n}的通项公式的方法是累乘法，用裂项法可求{

1

anan+1

}的前n项和T_n．