题目内容

已知函数f(x)=
x4
4
+
b
3
x3-
2+a
2
x2+2ax在点x=1处取极值，且函数g(x)=
x4
4
+
b
3
x3-
a-1
2
x2-ax在区间（a-6，2a-3）上是减函数，求实数a的取值范围．
分析：利用f′（1）=0可得a，b的关系，并验证是否取得极值；进而由g′（x）≤0得出区间与区间（a-6，2a-3）的关系即可得出a的取值范围．
解答：解：f′（x）=x3+bx2-（2+a）x+2a，
由f′（1）=0，得1+b-（2+a）+2a=0，化为b=1-a．
∴f′（x）=x3+（1-a）x2-（2+a）x+2a=（x-1）（x+2）（x-a）．
若a=1，则x=1不是函数f（x）的极值点，故b=1-a，且a≠1．
g′（x）=x3+bx2-（a-1）x-a=x3+（1-a）x2-（a-1）x-a=（x-a）（x2+x+1）．
当x＜a时，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，a）上单调递减．
∴区间（a-6，2a-3）⊆（-∞，a）．
∴a-6＜2a-3≤a，解得-3＜a≤3．
综上可知：a的取值范围是（-3，1）∪（1，3]
点评：熟练掌握函数在某一点取得极值的充分条件、利用导数研究函数单调性等是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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