Question

某汽车运输公司购置中型客车一辆投放客运市场营运，据市场调查分析知，该型客车投放市场后的第x年的年利润y（单位：万元）与营运年数x（x∈N^*）的函数关系为y=

-14，x=1时 13-2x，x≥2时

，若这辆客车营运n年可使其营运年平均利润达到最大，则n 的值为（　　）

A．2

B．4

C．5

D．6

Answer 1

分析：由y=

-14，x=1 13-2x，x≥2

，设a_n为第n年有年利润，a₁=-14，a_n=13-2n，n≥2，n∈N^*．设S_n为该型客车投放市场后的n年内的总收入，则S₁=-14，Sn=-14+9(n-1)+

(n-1)(n-2)

2

×(-2)=-n²+12n-25，所以这辆客车营运n年其营运年平均利润f=

-14，n=1 12-n- 25 n ，n≥2

．由此能求出结果．

解答：解：∵y=

-14，x=1 13-2x，x≥2

，
设a_n为第n年有年利润，
则a₁=-14，a₂=9，a₃=7，a₄=5，…，a_n=13-2n，n≥2，n∈N^*．
设S_n为该型客车投放市场后的n年内的总收入，
则S₁=-14，
Sn=-14+9(n-1)+

(n-1)(n-2)

2

×(-2)
=-n²+12n-25，
∴这辆客车营运n年其营运年平均利润f=

-14，n=1 12-n- 25 n ，n≥2

．
∵n+

25

n

≥2

n• 25 n

=10，
当且仅当n=

25

n

，即n=5时，n+

25

n

取最小值，
∴这辆客车营运5年其营运年平均利润f取最大值2万元．
故选C．

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意等差数列前n项和公式及均值定理的合理运用．