Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD为正方形，E、F分别为AB、PC的中点．
①求证：EF⊥平面PCD；
②求平面PCB与平面PCD的夹角的余弦值．

Answer 1

分析：①取AD中点为O，连接PO，由面面垂直的性质及等腰三角形的性质，易得PO⊥平面ABCD，故可以以O为原点，建立空间坐标系，设AD=2a，结合侧面PAD是正三角形，底面ABCD为正方形，E、F分别为AB、PC的中点，我们易求出各顶点的坐标，进而求出直线EF，DP，DC的方向向量，由向量数量积为0，则对应的线段垂直，可得EF⊥DP，EF⊥DC，再由线面垂直的判定定理，即可得到答案．
②分别求出平面PCB与平面PCD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到平面PCB与平面PCD的夹角的余弦值．

解答：证明：①取AD中点为O，连接PO，∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD
故以OA为x轴
OP为z轴建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示）（1分）
设AD=2a，
则A（a，0，0），D（-a，0，0），B（a，2a，0），C（-a，2a，0），P(0，  0，  

3

a)
故可求得：E（a，a，0），F(-

a

2

，  a，  

3

2

a)（3分）
∴

EF

=(-

3

2

a，  0，  

3

2

a)，

DP

=(a，  0，  

3

a)，

DC

=(0，  2a，  0)
∵

EF

•

DP

=-

3

2

a2+0+

3

2

a•

3

a=0，

EF

•

DC

=-

3

2

a×0+0×2a+

3

2

a×0=0
∴

EF

⊥

DP

，

EF

⊥

DC

∴

EF

⊥平面PCD
∴EF⊥平面PCD（6分）
解：②设平面PBC的一个法向量为

n

=(x，  y，  z)，则

n  • BC =0  n  • PB =0

   ⇒ 

-2x=0 x+2y- 3 z=0

，
取y=

3

⇒

n

=(0，  

3

，  2)，则

EF

为平面PCD的一个法向量，（9分）
故cos＜

n

•

EF

＞=

n  • EF

|  n  |•| EF |

=

3 a

7 • 3 a

=

7

7

（11分）
故平面PBC与平面PCD的夹角余弦值为

7

7

（12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，其中建立恰当的空间直角坐标系，将线线垂直问题，转化为向量垂直问题，将二面角问题转化为空间向量夹角问题是解答本题的关键．