Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x-x²．
（1）求函数y=f（x）的解析式．
（2）当x∈[-

3

2

，3]时，求f（x）的最大值与最小值．并求出相应x的值．

Answer 1

分析：（1）直接根据奇函数的性质f（-x）=-f（x），求出x＜0时对应的解析式以及f（0）=0即可求出函数y=f（x）的解析式．
（2）先根据二次函数的单调性求出x＞0时的最大值与最小值；再结合奇函数的图象关于原点对称求出x＜0时的最大值与最小值；综合即可得到答案．

解答：解：（1）y=f（x）是定义在R上的奇函数⇒f（-x）=-f（x）⇒f（0）=0．
当x＜0时，-x＞0时，
所以：f（-x）=2（-x）-（-x）²=-2x-x²=-f（x）
即x≤0时f（x）=2x+x²
∴f(x)=

2x-x2，x＞0. 2x+x2，x≤0.

（2）∵当x＞0时，f（x）=2x-x²．对称轴为1，开口向下．
所以函数在[0，1]上递增，在[1，3]上递减；
当x=1时有最大值1，当x=3时有最小值-3．
又因为奇函数的图象关于原点对称，
所以当x∈[-

3

2

，0）时，在[-

3

2

，-1]上递减，在[-1，0]上递增；
当x=0时有最大值0，当x=-1时有最小值-1．
综上得：当x∈[-

3

2

，3]时，在x=1时有最大值1，当x=3时有最小值-3．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用．偶函数的图象关于原点对称，奇函数的图象关于原点对称．