题目内容

（理）已知数列{an}的各项均不为零，a1=1，a2=m，且对任意n∈N*，都有
a
2
n+1
=anan+2+c．
（1）设c=1，若数列{an}是等差数列，求m；
（2）设c=1，当n≥2，n∈N*时，求证：
an+1+an-1
a n
是一个常数；
（3）当c=（m+1）2时，求数列{an}的通项公式．
分析：（1）由题设条件求出公差，再利用等差数列的通项公式分别求出an，an+1，an+2，根据已知条件能求出m．
（2）由题设条件先求出a3=m2-1，
a1+a3
a2
=m，猜想
an-1+an+1
an
=m，由此能够证明
an+1+an-1
a n
是一个常数．
（3）先由已知条件求出
a1+a3
a2
=
m2+1-c
m
=-2，再类比猜想
an-1+an+1
an
=-2，由此能够求出数列{an}的通项公式．
解答：解：（1）由题意得：d=a2-a1=m-1，
an=1+（n-1）（m-1），
an+1=1+n（m-1），
an+2=1+（n+1）（m-1）
∵
a
2
n+1
=anan+2+1，
∴[1+n（m-1）]2=[1+（n-1）（m-1）][1+（n+1）（m-1）]+1
解得m=2．
（2）法一：∵a1=1，a2=m，
a
2
n+1
=anan+2+c，c=1，
∴a3=m2-1，∴
a1+a3
a2
=m，
猜想
an-1+an+1
an
=m
欲证明
an-1+an+1
an
=m恒成立
只需要证明
an-1+an+1
an
=
an+an+2
an+1
恒成立
即要证明an+1（an-1+an+1）=an（an+an+2）恒成立
即要证明an+1an-1+an+12=an2+anan+2恒成立，
∵
a
2
n+1
=anan+2+1，
∴an+1an-1=an2-1，anan+2=an+12-1，
∵an+1an-1+an+12=an+1an-1+an+12=an2-1+an+12，
an2+anan+2=an2+an+12-1，
∴an+1an-1+an+12=an2+anan+2成立．
综上所述：
an+1+an-1
a n
是一个常数．                                             
法二：∵a1=1，a2=m，
a
2
n+1
=anan+2+c，c=1，
∴a3=m2-1，∴
a1+a3
a2
=m，
猜想
an-1+an+1
an
=m，
a
2
n+1
=anan+2+1，an2=an-1an+1+1，
a
2
n+1
-
a
2
n
=anan+2-an-1an+1，
a
2
n+1
+an-1an+1=
a
2
n
+anan+2，
由于an≠0，上式两边同除以anan+1，
得
a
 
n+1
+an-1
an
=
a
 
n
+an+2
an+1
(n≥2)．
∴
a
 
n
+an+2
an+1
=
a
 
n-1
+an+1
an
=…=
a
 
1
+a3
a2
=
8
3
．
∴
an-1+an+1
an
=m是常数．
（3）∵a1=1，a2=m，
a
2
n+1
=anan+2+c，c=（m+1）2，
∴a3=-2m-1，
a1+a3
a2
=
m2+1-c
m
=-2，
类比猜想
an-1+an+1
an
=-2，
a
2
n+1
=anan+2+c，an2=an-1an+1+c，
a
2
n+1
-
a
2
n
=anan+2-an-1an+1，
a
2
n+1
+an-1an+1=
a
2
n
+anan+2，
由于an≠0，上式两边同除以anan+1，
得
a
 
n+1
+an-1
an
=
a
 
n
+an+2
an+1
(n≥2)．
∴
a
 
n
+an+2
an+1
=
a
 
n-1
+an+1
an
=…=
a
 
1
+a3
a2
=
8
3
．
∴
an-1+an+1
an
=-2是常数，
∴
an-1+an+1
an
=-2，
∴（an-1+an）+（an+1+an）=0，
∴（an-1+an）=-（an+1+an），
∴an+1+an=(-1)n-1(m+1)，
∴a1=1，a2=m，a3=-（2m+1），a4=（3m+2），
由此猜想an=(-1)n[(n-1)m+(n-2)]，
用数学归纳法证明：显然n=1时，成立，
假设n=k时，ak=(-1)k[(k-1)m+(k-2)]成立，
则n=k+1时，ak+1=(-1)k-1(m+1)-ak
=（-1）k-1（m+1）-（-1）k[（k-1）m+（k-2）]，
∴ak+1=(-1)k-1[(m+1)+(k-1)m+(k-2)]，
∴ak+1=(-1)k-1[km+(k-1)]
=（-1）k+1[km+（k-1）]，
∴对一切n∈N时，an=(-1)n[(n-1)m+(n-2)]成立．
点评：本题考查数列知识的综合运用，综合性强，难度大，解题时要认真审题，仔细挖掘题设条件中的隐含条件，注意合理地进行类比猜想．
练习册系列答案
相关题目
（理）已知数列{an}满足a1=1，an=
12
an-1+1（n≥2），
（1）求证：数列{an-2}是等比数列，并求通项an．
（2）求{an}前n项和Sn．
（理）已知数列{an}，Sn是其前n项和，Sn=1-an（n∈N*），
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令数列{bn}的前n项和为Tn，bn=（n+1）an，求Tn；
（3）设cn=
3an
(2-an)(1-an)
，数列{cn}的前n项和Rn，且Rn＜λ+
m
λ
(λ＞0，m＞0)恒成立，求m的范围．
（理）已知数列{an}是等差数列，且a1=-2，a1+a2+a3=-12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若b1=0，bn+1=7bn+6，n∈N*，求数列{an（bn+1）}的前n项和Tn的公式．
（理）已知数列{an}满足a1=2，前n项和为Sn，an+1=
pan+n-1(n为奇数)
-an-2n(n为偶数)
．
（1）若数列{bn}满足bn=a2n+a2n+1（n≥1），试求数列{bn}前3项的和T3；
（2）若数列{cn}满足cn=a2n，试判断{cn}是否为等比数列，并说明理由；
（3）当p=
1
2
时，对任意n∈N*，不等式S2n+1≤log
1
2
(x2+3x)都成立，求x的取值范围．
（理）已知数列{an}前n项和Sn=-ban+1-
1
(1+b)n
其中b是与n无关的常数，且0＜b＜1，若
limSn
n→∞
存在，则
limSn=
n→∞
1
1
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网