Question

定义：在直角坐标系中，若不在一直线上的三点A、B、C的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），则三角形ABC的面积可以表示为S_△ABC=|

1

2

.

x1  y1  1 x2 y2     1 x3 y3    1

.

|．已知抛物线y²=4x，过抛物线焦点F斜率为

4

3

的直线l与抛物线交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若P（3，0），试用行列式计算三角形面积的方法求四边形APBO的面积S．

Answer 1

分析：（1）求出抛物线的焦点的坐标，用点斜式求得直线AB的方程，代入抛物线y²=4x的方程化简，
利用一元二次方程根与系数的关系，求出 x₁，x₂，y₁，y₂的值，即可求得A、B两点的坐标；
（2）由题意知，A（4，4），B(

1

4

，-1)，P（3，0），O（0，0）
则四边形APBO的面积S=|

1

2

.

4 4     1 1 4 -1    1 0   0    1

.

|+|

1

2

.

4 4     1 1 4 -1    1 3   0    1

.

|=

15

2

．

解答：解：（1）抛物线y²=4x中，p=2，

p

2

=1，故抛物线的焦点的坐标为（1，0），
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂ ），
由题意有可得 直线AB的方程为  y-0=

4

3

（x-1），即 y=

4

3

（x-1），
代入抛物线y²=4x的方程化简可得  y²-3x-4=0，
∴y₁=-1，y₂=4，则x₁=

1

4

，x₂=4
故A（4，4）、B(

1

4

，-1)；
（2）由于不在一直线上的三点A、B、C的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），
则三角形ABC的面积可以表示为S_△ABC=|

1

2

.

x1  y1  1 x2 y2     1 x3 y3    1

.

|
又由A（4，4）、B(

1

4

，-1)，
则四边形APBO的面积S=S_△AOB+S_△APB
=|

1

2

.

4 4     1 1 4 -1    1 0   0    1

.

|+|

1

2

.

4 4     1 1 4 -1    1 3   0    1

.

|=

15

2

．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，求出x₁，x₂，y₁，y₂的值，是解题的关键．