Question

已知数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=1+

1

an

我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：1，2，

3

2

，

5

3

…；当a=-

1

2

时，得到有穷数列：-

1

2

，-1，0．
（Ⅰ）求当a为何值时a₄=0；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=

1

bn-1

（n∈N₊），求证a取数列{b_n}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a_n}；
（Ⅲ）若

3

2

＜a_n＜2（n≥4），求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）解法1：由设条件知a_n=

1

an+1-1

，由a₄=0，导出a₃=-1，进而导出a₂=-

1

2

，由此可知a=a₁=-

2

3

．
解法2：由a₁=a，a_n+1=1+

1

an

，可以推导出a₄=

3a+2

a+1

0，由此可知a=-

2

3

．
（II）由b_n+1=

1

bn-1

，知b_n=

1

bn+1

+1，若a=b_n，则由题设条件能够推出a_n=1+

1

an-1

=0所以数列{a_n}只能有n项为有穷数列．
（III）由题设条件可知

3 2 ＜1+ 1 an-1 ＜2 3 2 ＜an-1＜2

（n≥5），由此能够推出a的取值范围．

解答：解：（I）解法1：∵a_n+1=1+

1

an

，∴a_n=

1

an+1-1

，∵a₄=0，∴a₃=-1，a₂=-

1

2

，a=a₁=-

2

3

；
解法2：∵a₁=a，a_n+1=1+

1

an

，∴a₂=

a+1

a

．a₃=

2a+1

a+1

，a₄=

3a+2

a+1

，∵a₄=0，∴a=-

2

3

．
（II）∵b_n+1=

1

bn-1

，∴b_n=

1

bn+1

+1，
若a取数列{b_n}的一个数b_n，即a=b_n，则a₂=1+

1

a1

=1+

1

bn

=b_n-1，a₃=1+

1

a2

=1+

1

bn-1

=b_n-2，
∴a_n-1=b₁=-1，∴a_n=1+

1

an-1

=0
所以数列{a_n}只能有n项为有穷数列．
（III）解法一：因为

3

2

＜a_n＜2（n≥4）?

3 2 ＜1+ 1 an-1 ＜2 3 2 ＜an-1＜2

（n≥5）?

1＜an-1＜2 3 2 ＜an-1＜2

?

3

2

＜a_n-1＜2（n≥5）
所以

3

2

＜a_n＜2（n≥4）?

3

2

＜a₄＜2?

3

2

＜

3a+2

2a+1

＜2?a＞0
这就是所求的取值范围．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细计算，避免错误．