Question

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当0＜a＜2时，求函数g（x）=f（x）-x²-ax-1在区间[0，3]的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）因为函数g（x）=f（x）-x²-ax-1，求出g（x）的导数，求出函数的单调区间，然后只需讨论

a

2-a

与3的大小，从而分类讨论求出函数g（x）=f（x）-x²-ax-1在区间[0，3]的最小值．

解答：本小题满分（14分）
解：（Ⅰ）∵f′(x)=2(x+1)-

2

x+1

=

2x(x+2)

x+1

．（2分）
由f'（x）＞0，得-2＜x＜-1或x＞0；由f'（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0．
又∵f（x）定义域为（-1，+∞），
∴所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-1，0）（5分）
（Ⅱ）由g（x）=f（x）-x²-ax-1
即g（x）=2x-ax-2ln（1+x），g′(x)=2-a-

2

x+1

=

(2-a)x-a

x+1

（7分）
令g'（x）=0由0＜a＜2及x＞-1，得x=

a

2-a

且当x=

a

2-a

时f（x）取得极小值．（8分）
∵求f（x）在区间[0，3]上最小值
∴只需讨论

a

2-a

与3的大小
①当0＜a＜

3

2

时

a

2-a

＜3
所以函数g（x）在[0，3]上最小值为g(

a

2-a

)=a-2ln

2

2-a

（10分）
②当a=

3

2

时

a

2-a

=3
所以函数g（x）在[0，3]上最小值为g(3)=

3

2

-4ln2（11分）
③当a＞

3

2

时

a

2-a

＞3
所以函数g（x）在[0，3]上最小值为g（3）=

3

2

-4ln2（13分）
所以，综上可知当0＜a＜

3

2

时，函数g（x）在[0，3]上最小值为a-2ln

2

2-a

；
当a≥

3

2

时，函数g（x）在[0，3]上最小值为

3

2

-4ln2．（14分）

点评：此题主要考查函数导数与函数单调性之间的关系，掌握并会熟练运用导数判断函数的单调性，要学会分类讨论，难度较大．