Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，S是该三角形的面积，且4sin（3π-A）sin2(

A

2

+

π

4

)-cos(π-2A)=

3

+1．
（1）求角A的大小；
（2）若角A为锐角，b=1，S=

3

，求边BC上中线AD的长．

Answer 1

分析：（1）根据诱导公式，降幂公式，二倍角公式将题中式子化简为sinA=

3

2

再根据A为三角形内角即可求出A．
（2）根据角A为锐角和（1）可得A=

π

3

然后根据三角形的面积公式再结合条件b=1，S=

3

可求出C的值，而求边BC上中线AD的长有三种方法：
法一：由于AD为BC边上的中线则根据向量加法的平行四边形法则可得

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)然后两边平方即可求出|

AD

|也即为AD的长．
法二：先根据cosA利用余弦定理求出a的值再在△ADC和△ABC中两次利用余弦定理即可求出AD的值．
法三：作CE平行于AB，并延长AD交CE于E然后再利用余弦定理求解．

解答：解：（1）∵4sin（3π-A）sin2(

A

2

+

π

4

)-cos(π-2A)=

3

+1
∴4sinAsin²（

A

2

+

π

4

）+cos2A=

3

+1
∴4sinA

1-cos(A+ π 2 )

2

+1-2sin²A=

3

+1
∴sinA=

3

2

∵A∈（0，π）
∴A=

π

3

或

2π

3

（2）因A为锐角，则A=

π

3

即cosA=

1

2

而面积S=

1

2

bcsinA，又S=

3

，b=1，sinA=

3

2

，则c=4 
解法一：∵AD为BC边上的中线
∴

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)
∴|

AD

|2=

1

4

（|

AB

|2+2|

AB

||

AC

|cosA+|

AC

|2）
∴|

AD

|=|AD|=

21

2

解法二：又由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA得a=

13

又cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

b2+( a 2 )2-AD2

2b× a 2

∴

13+1-16

2 13

=

1+ 13 4 -AD2

13

∴AD=

21

2

 解法三：作CE平行于AB，并延长AD交CE于E
在△ACE中，∠C=

2π

3

，AC=1，CE=4，且AD=

1

2

AE
又AE²=AC²+CE²-2AC•CE•cosC
即AE2=1+16+8×

1

2

=21
这样 AD=

1

2

AE=

21

2

点评：本题主要考查了利用余弦定理解三角形，属常考题，较易．解题的关键是利用诱导公式，降幂公式，二倍角公式求出角A的值，再利用A的值结合余弦定理解三角形！