Question

已知函数f（x）=lnx-

a

x

，
（1）若a=0时，直线y=x+b为函数y=f（x）的一条切线，求实数b的值；
（2）是否存在实数a，使f（x）在[1，e]上的最小值为

3

2

，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）把a=0代入函数解析式，求导后令导函数的值等于1得到直线y=x+b与函数y=f（x）的切点，把切点代入直线方程即可得到b的值；
（2）求出原函数的导函数，由导函数大于0解出x的范围，然后分a大于0和小于0讨论，当a＜0时具体分三种情况讨论，利用f（x）在[1，e]上的最小值为

3

2

求a的值．

解答：解：（1）由f（x）=lnx-

a

x

（x＞0），
当a=0时，f（x）=lnx，
f′(x)=

1

x

，由

1

x

=1，得x=1，代入y=lnx，得y=0．
把（1，0）代入y=x+b，得b=-1；
（2）f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

．
令f'（x）≥0
∴x+a≥0，∴x≥-a．
若a＞0，则f'（x）＞0，函数在x＞0单调增．
若a＜0，则有极小值点x=-a，函数在x＞-a单调增．
当-1≤a＜0时，在[1，e]上f'（x）≥0，∴f（x）_min=f（1）=-a≤1，不合题意．
当-e＜a＜-1时，f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，∴a=-

e

．
当a≤-e时，f（x）_min=f（e）=1-

a

e

＞2不合题意．
综上得：a=-

e

．

点评：本题考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是对a的范围正确分段，此题是有一定难度题目．