题目内容

（2013•昌平区二模）已知函数f（x）=sin（π-2x）+2
3
cos2x，x∈R．
（Ⅰ）求f（
π
6
）；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
分析：（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x+
π
3
）+
3
，由此求得f（
π
6
）的值．
（Ⅱ）根据f（x）的解析式求得它的最小正周期，令2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的单调递增区间．
解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin（π-2x）+2
3
cos2x=sin2x+
3
cos2x+
3
=2sin（2x+
π
3
）+
3
，…（4分）
∴f（
π
6
）=2sin
2π
3
+
3
=2×
3
2
+
2
=2
3
…（6分）
（Ⅱ）f（x）=2sin（2x+
π
3
）+
3
，∴它的最小正周期T=
2π
2
=π．…（8分）
又由2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
，k∈z，求得 kπ-
5π
12
≤x≤kπ+
π
12
，k∈z，
可得函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
]，k∈z．…（13分）
点评：本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的周期性及单调性，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2013•昌平区二模）i是虚数单位，则复数z=
2i-1
i
在复平面内对应的点在（　　）
（2013•昌平区二模）设数列{an}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+an）+p=2（a1+a2…+an），（其中k、b、p是常数）．
（1）当k=0，b=3，p=-4时，求a1+a2+a3+…+an；
（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{an}的通项公式；
（3）若数列{an}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设Sn是数列{an}的前n项和，a2-a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{an}，使得对任意n∈N*，都有Sn≠0，且
1
12
＜
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
＜
11
18
．若存在，求数列{an}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．
（2013•昌平区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
，请你根据上面探究结果，解答以下问题
（1）函数f（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
的对称中心为
（
1
2
，1）
（
1
2
，1）
；
（2）计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f（
2012
2013
）=
2012
2012
．
（2013•昌平区二模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则
AE
•
BD
=
1
1
．
（2013•昌平区二模）圆x2+（y-2）2=1的圆心到直线
x=3+t
y=-2-t
（t为参数）的距离为（　　）

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网