Question

已知函数f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，其中t∈R．
（1）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．
（2）当t∈（0，+∞），求f（x）的极值．

Answer 1

分析：（1）当t=1时，求出函数f（x），利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；
（2）根据f'（0）=0，解得x=-t或x=

t

2

，由t＞0，列表讨论能求出f（x）的极值．

解答：解：（1）当t=1时，f（x）=4x³+3x²-6x，f（0）=0，
f'（x）=12x²+6x-6（2分）f'（0）=-6．
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-6x．（4分）
（2）解：f'（x）=12x²+6tx-6t²，令f'（x）=0，解得x=-t或x=

t

2

．（5分）
∵t＞0，∴-t＜

t

2

，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-t）	-t	（-t， t 2 ）	t 2	（ t 2 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴x=-t时，f（x）取极大值f（-t）=-4t³+3t³+6t³+t-1=5t³+t-1．
x=

t

2

时，f（x）取极小值f（

t

2

）=4×

t3

8

+3t×

t2

4

-6t²×

t

2

+t-1=-

7

4

t3+t-1．

点评：本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想．