Question

如图，椭圆C：

x2

8

+

y2

4

=1(a＞b＞0)的右准线l交x轴于点M，AB为过焦点F的弦，且直线AB的倾斜角θ（θ≤90°）．
（Ⅰ）当△ABM的面积最大时，求直线AB的方程．
（Ⅱ）（ⅰ）试用θ表示|AF|；
（ⅱ）若|BF|=2|AF|，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（I）设AB的方程为x=my+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．将x=my+2代入椭圆方程可得根与系数的关系，可得|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

，由于S_△ABM=

1

2

|FM| |y1-y2|=|y₁-y₂|，利用基本不等式即可得出此时的m，进而得到直线AB的方程．
（II）（i）由（I）可得椭圆的右焦点F（2，0），离心率e=

c

a

=

2

2

．右准线l：x=4．作AA₁⊥l于点A₁，则

|AF|

|AA1|

=e=

2

2

，可得|AF|=

2

2

|AA1|=

2

2

(|FM|-|AF|cosθ)=

2

-

2

2

|AF|cosθ，即可得出|AF|．
（ii）同理|BF|=

2

2 -cosθ

，由|BF|=2|AF|，即可解得cosθ即tanθ，及直线的方程．

解答：解：（I）设AB的方程为x=my+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
将x=my+2代入

x2

8

+

y2

4

=1，消去x整理得（2+m²）y²+4my-4=0，△＞0．
∴y1+y2=

-4m

2+m2

，y1y2=

-4

2+m2

．
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( -4m 2+m2 )2- -16 2+m2

=

4 2(1+m2)

2+m2

，
∴S_△ABM=

1

2

|FM| |y1-y2|=|y₁-y₂|=

4 2

1+m2 + 1 1+m2

≤

4 2

2

=2

2

，当且仅当m=0时取等号，此时直线AB的方程为x=2．
（II）（i）由（I）可得椭圆的右焦点F（2，0），离心率e=

c

a

=

2

2

．右准线l：x=4．
作AA₁⊥l于点A₁，则

|AF|

|AA1|

=e=

2

2

，
∴|AF|=

2

2

|AA1|=

2

2

(|FM|-|AF|cosθ)=

2

-

2

2

|AF|cosθ，
∴|AF|=

2

2 +cosθ

．
（ii）同理|BF|=

2

2 -cosθ

，
由|BF|=2|AF|，得到

2

2 -cosθ

=2×

2

2 +cosθ

，解得cosθ=

2

3

，tanθ=

7

3

．
∴直线AB的方程为：y=

7

3

(x-2)，化为

7

x-3y-2

7

=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、三角形的面积计算公式、椭圆的第二定义、直线的方程等基础知识与基本技能方法，属于难题．