Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-2x在x=-2，x=1处取得极值．
①求函数f（x）的解析式；
②求函数f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：①∵f（x）=ax³+bx²-2x
∴f′（x）=3ax²+2bx-2…..（2分）
由题意知 f′（-2）=0，f′（1）=0 …．（3分）
则?a=，b=…..（5分）
所以f（x）=x³+x²-2x…..（7分）
②因为f（-2）=
f（1）=
f（-3）=
f（3）=×-2×3=．…．（11分）
所以：函数f（x）的最大值为，最小值-…（12分）
分析：①是实数集上的可导函数，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f′（x）=0的根建立起相关等式，运用待定系数法确定a、b的值；
②分别求出端点值和极值，通过比较即可的出结论．
点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．