Question

在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA=

5

5

，cos2B=

4

5

．
（1）求A+B的值；
（2）若a-b=2

2

-2，求a、b、c的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦函数公式化简cos2B，根据已知cos2B的值，得到关于cosB的方程，求出方程的解得到cosB的值，再由B为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，同时由A为锐角，根据sinA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A+B），将各种的值代入求出cos（A+B）的值，由A和B都为锐角，得到A+B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A+B的度数；
（2）由第一问求出的A+B的度数，利用三角形的内角和定理求出C的度数，再由sinA，sinB的值，利用正弦定理得出a与b的关系式，与已知的a与b的关系式联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，最后由sinA，a及sinC的值，利用正弦定理即可求出c的值．

解答：解：（1）∵cos2B=

4

5

，且cos2B=1-2sin²B，
∴1-2sin²B=

4

5

，即sin²B=

1

10

，
又B为锐角，sinB=

10

10

，
∴cosB=

1-sin2B

=

3 10

10

，
又sinA=

5

5

，且A为锐角，
∴cosA=

2 5

5

，
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB
=

2 5

5

×

3 10

10

-

5

5

×

10

10

=

2

2

，
又A，B都为锐角，∴A+B∈（0，π），
则A+B=

π

4

；
（2）∵A+B=

π

4

，A+B+C=π，
∴C=

3π

4

，
又sinA=

5

5

，sinB=

10

10

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：a=

2

b，
又a-b=2

2

-2，
∴a=2

2

，b=2，
再由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：c=

asinC

sinA

=2

5

，
则a=2

2

，b=2，c=2

5

．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．