Question

已知定义域为R的函数f(x)=

-2x+a

2x+1

是奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：函数f（x）在R上是减函数．

Answer 1

分析：（I）利用奇函数的性质f（0）=0即可得出；
（II）利用减函数的定义即可证明．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，且定义域为R，
∴f（0）=0，∴

a-1

2

=0，解得a=1．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)=

1-2x

1+2x

=-1+

2

2x+1

，
令x₁＜x₂，则0＜2x1＜2x2，2x2-2x1＞0
f(x1)-f(x2)=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在R上为减函数．

点评：本题考查了函数的单调性和奇偶性，属于基础题．