Question

设z是虚数，是实数，且.
（1）求的值及z的实部的取值范围.
（2）设，求的最小值.

Answer 1

（1），的实部的取值范围是；（2）1.

试题分析：（1）设且，则，由题意是实数，故其虚部为0，即而，又由是虚数，可得，从而可得，即，此时，由，可得；
由（1）得：
，
因此，将代入，可将原式化为：
，故可以用基本不等式求其最小值.
（1）设且，则
∵是实数，∴，又是虚数，∴，∴，即，∴，
∵，∴，即，故z的实部取值范围；
∵，
∵，∴，
，
，∴当即时，的最小值为1．