Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，经过椭圆的左顶点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点为线段的中点， ，并且交椭圆于点.

①是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；

②求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）存在点满足题设；（ii）.

【解析】试题分析：（1）借助题设条件建立方程组求解；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系进行求解.

试题解析：

（1）因为左顶点为，所以，又，所以.

又因为，

所以椭圆的方程为.

（2）（i）因为左顶点为，设直线的方程为，则，消去，得.

所以，解得，

当时， ，

所以，因为点为的中点，所以点的坐标为，

则，

直线的方程为，令，得点的坐标为，

假设存在定点，使得，

则，即恒成立，

所以恒成立，

所以，即，

因此定点的坐标为.

（ii）因为，所以的方程可设为，

由，得点的横坐标为，

由，得

，

当且仅当，即时取等号，

所以当时， 的最小值为.