Question

已知数列{a_n}的前n项为和S_n，点(n，

Sn

n

)在直线y=

1

2

x+

11

2

上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9项和为153．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=

3

(2an-11)(2bn-1)

，数列{c_n}的前n和为T_n，求使不等式Tn＞

k

57

对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

Answer 1

分析：（1）根据点(n，

Sn

n

)在直线y=

1

2

x+

11

2

上可得到

Sn

n

=

1

2

n+

11

2

整理可得到Sn=

1

2

n2+

11

2

n．，再由n≥2时，a_n=S_n-S_n-1可得到a_n的表达式，再对n=1时进行验证即可得到数列{a_n}的通项公式；根据b_n+2-2b_n+1+b_n=0可转化为b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n得到{b_n}为等差数列，即可求出{b_n}的通项公式．
（2）将（1）中的{a_n}、{b_n}的通项公式代入到{c_n}中然后进行裂项，可得到前n项和Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]，进而可确定T_n的表达式，然后作差可验证T_n单调递增，求出T_n的最小值，然后令最小值大于

k

57

求出k即可．

解答：解：（Ⅰ）由题意，得

Sn

n

=

1

2

n+

11

2

，即Sn=

1

2

n2+

11

2

n．
故当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(

1

2

n2+

11

2

n)-[

1

2

(n-1)2+

11

2

(n-1)]=n+5．
注意到n=1时，a₁=S₁=6，而当n=1，n+5=6，
所以，a_n=n+5（n∈N^*）．
又b_n+2-2b_n+1+b_n=0，即b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N^*），
所以{b_n}为等差数列，于是

9(b3+b7)

2

=153．
而b3=11，故b7=23，d=

23-11

7-3

=3，
因此，b_n=b₃+3（n-3）=3n+2，即b_n=3n+2（n∈N^*）．
（Ⅱ）cn=

3

(2an-11)(2bn-1)

=

3

[2(n+5)-11][2(3n+2)-1]

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
所以，Tn=c1+c2+…+cn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
由于Tn+1-Tn=

n+1

2n+3

-

n

2n+1

=

1

(2n+3)(2n+1)

＞0，
因此T_n单调递增，故(Tn)min=

1

3

．
令

1

3

＞

k

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，得k＜19，所以Kmax=18．

点评：本题主要考查数列的裂项法和求数列通项公式的方法．考查综合运用能力．