题目内容

设抛物线y²=4x的焦点弦被焦点分为长是m和n的两部分，则m与n的关系是________．

$\text{[math]}$ 都对）
分析：假设直线斜率存在，则可设出直线方程与抛物线方程联立消去y可求得x₁+x₂，再根据抛物线的定义可求得m+n和mn，进而可求得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．再看当斜率不存在时，也符合．综合可推断 $\text{[math]}$ ，然后根据p=2，即可得出结论．
解答：抛物线y²=2Px①设AB：y=k（x- $\text{[math]}$ ），直线方程与抛物线方程联立消去y得
得k²x²-（k²p+2p）x+ $\text{[math]}$ =0．
∴x₁+x₂= $\text{[math]}$ ．
又由抛物线定义可得
m+n=x₁+x₂+p= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
m•n=（x₁+ $\text{[math]}$ ）（x₂+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
②若k不存在，则AB方程为x=- $\text{[math]}$ ，显然符合本题．
综合①②有 $\text{[math]}$
∵p=2
∴ $\text{[math]}$
故答案为 $\text{[math]}$
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系．当遇到抛物线焦点弦问题时，常根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立，把韦达定理和抛物线定义相结合解决问题．