Question

【题目】如图所示,已知在矩形中,,,平面,且.

（1）问当实数在什么范围时,边上能存在点,使得？

（2）当边上有且仅有一个点使得时,求二面角的余弦值大小.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）建立坐标系,设点,则,,由,可得,显然当该方程有非负实数解时,边上才存在点,使得,,即可求得的范围.

（2）求平面的一个法向量是和平面的一个法向量是,由,即可求得二面角的余弦值.

（1）以为坐标原点,、、分别为、、轴建立坐标系如图所示:

,,

,,.

设点,则,.

由,得.

显然当该方程有非负实数解时,边上才存在点,使得,

故只须.

,故的取值范围为.

（2）易见,当时,上仅有一点满足题意,

此时,即为的中点,

得:,,.

设平面的一个法向量是,

则,,

,,

,取,,,所以.

又平面的一个法向量是.

,

二面角的余弦值为.