Question

（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，
在Rt△PBO中，tan∠PBO＝
所以异面直线PB与CD所成的角是.
（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为.
设QD＝x，则，由（Ⅱ）得CD=OB=，
在Rt△POC中，
所以PC=CD=DP,
由V_p-DQC=V_Q-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时.
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得
A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
所以
所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，
(Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，
由(Ⅱ)知
设平面PCD的法向量为n=(x₀,y₀,z₀).
则所以即，
取x₀=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).
设由，得解y=-或y=(舍去)，
此时，所以存在点Q满足题意，此时.

解析