题目内容

已知函数f（x）定义域为（0，+∞），且满足2f（x）+f（ $数学公式$ ）= $数学公式$ ．
（Ⅰ）求f（x）解析式及最小值；
（Ⅱ）求证：?x∈（0，+∞）， $数学公式$ ．
（Ⅲ）设g（x）= $数学公式$ ，h（x）=（x²+x）g′（x）．求证：：?x∈（0，+∞），h（x）＜ $数学公式$ ．

（Ⅰ）解：设x＞0，则 $\text{[math]}$
∵2f（x）+f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，①
∴2f（ $\text{[math]}$ ）+f（x）=（x- $\text{[math]}$ ）lnx，②
①×2-②得：3f（x）=3xlnx，∴f（x）=xlnx
由f′（x）=lnx+1=0，可得x= $\text{[math]}$
由f′（x）=lnx+1＞0，可得x＞ $\text{[math]}$ ；由f′（x）=lnx+1＜0，可得0＜x＜ $\text{[math]}$
∴函数在（0， $\text{[math]}$ ）上单调递减，在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调递增
∴x= $\text{[math]}$ 时，函数取得最小值- $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）证明：构造函数 $\text{[math]}$ ，则F′（x）=- $\text{[math]}$
∵x∈（0，+∞），∴F′（x）＜0
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递减
∴F（x）＜F（0）=0
∴?x∈（0，+∞）， $\text{[math]}$ ；
（Ⅲ）证明：∵g（x）= $\text{[math]}$ ，∴g′（x）= $\text{[math]}$
∴h（x）=（x²+x）g′（x）= $\text{[math]}$ （1-x-xlnx），
令p（x）=1-x-xlnx，则p′（x）=-lnx-2
由p′（x）＞0，可得0＜x＜ $\text{[math]}$ ；由p′（x）＜0，可得x＞ $\text{[math]}$ ，
∴函数p（x）在（0， $\text{[math]}$ ）上单调递增，在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调递减
∴x= $\text{[math]}$ 时，p（x）取得最大值1+ $\text{[math]}$
∵1+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴h（x）＜ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）设x＞0，则 $\text{[math]}$ ，利用2f（x）+f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，可得2f（ $\text{[math]}$ ）+f（x）=（x- $\text{[math]}$ ）lnx，由此可得函数解析式，求导函数确定函数的单调性，即可求得函数的最小值；
（Ⅱ）构造函数 $\text{[math]}$ ，证明函数F（x）在（0，+∞）上单调递减，即可证得结论；
（Ⅲ）h（x）=（x²+x）g′（x）= $\text{[math]}$ （1-x-xlnx），证明p（x）=1-x-xlnx取得最大值1+ $\text{[math]}$ ，即可得到结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查不等式的证明，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性．