Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F₁，F₂，过F₂作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M若MF₁垂直于x轴，则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

分析：设F₁的坐标为（-c，h），h＞0，代入椭圆的方程求得 h，Rt△MF₂ F₁中，tan60°=

3

=

h

2c

，
建立关于a、c的方程，解方程求出

c

a

的值．

解答：解：设F₁的坐标为（-c，h），h＞0，代入椭圆的方程得   

(-c)2

a2

+

h2

b2

=1，∴h=

b2

a

．
由题意知，∠MF₂ F₁=180°-120°=60°，Rt△MF₂ F₁中，tan60°=

3

=

h

2c

=

b2

2ac

=

a2-c2

2ac

，
a2- c2-2

3

ac=0，1-(

c

a

)2-2

3

c

a

=0，解得

c

a

=2-

3

 或

c

a

=-2-

3

（舍去），
综上，椭圆的离心率为 2-

3

，
故答案为：2-

3

．

点评：本题考查直角三角形中的边角关系，椭圆的简单性质，一元二次方程的解法．