Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=（n²+n）﹒2ⁿ，则数列{

an

n

}的前n项和T_n=

（n+2）2ⁿ-2

．

Answer 1

分析：由已知利用递推公式s_n-s_n-1=a_n，a₁=s₁可求通项，然后代入

an

n

，利用错位相减即可求解数列的和

解答：解：∵S_n=（n²+n）﹒2ⁿ，
∴S_n-1=[（n-1）²+（n-1）]﹒2^n-1，（n≥2）
两式相减可得，s_n-s_n-1=（n²+n）﹒2ⁿ-[（n-1）²+（n-1）]﹒2^n-1，
=2^n-1•（n²+3n）（n≥2）
n=1时，a₁=s₁=4适合上式
∴a_n=2^n-1•（n²+3n）
∴

an

n

=(n+3)•2n-1
∴s_n=4•2⁰+5•2+…+（n+3）•2^n-1
2s_n=4•2+5•2¹+…+（n+2）•2^n-1+（n+3）•2ⁿ
两式相减可得，-s_n=4+2+2²+…+2^n-1-（n+3）•2ⁿ
=4+

2(1-2n-1)

1-2

-(n+3)•2n
=4+2ⁿ-2-（n+3）•2ⁿ
=2-（n+2）•2ⁿ
∴sn=(n+2)•2n-2
故答案为：（n+2）•2ⁿ-2

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式转化数列的和与项 之间的关系，数列的错位相减求和方法的应用．