Question

如图，P﹣ABCD是正四棱锥，ABCD﹣是正方体，其中．
（1）求证PA⊥；
（2）求平面PAD与平面BD所成的锐二面角θ的正弦值大小；
（3）求到平面PAD的距离．

Answer 1

（1）证明以为x轴，为y轴，A为z轴，建立空间直角坐标系，
设E为BD的中点，
∵P﹣ABCD是正四棱锥，
∴PE⊥平面ABCD，
∵，
∴PE=2，
∴P（1，1，4），
∴，，
∴，
故PA⊥．
（2）解：设平面PAD的法向量，
∵，，
∴，
∴．
∵平面BD的法向量，
∴cos＜＞==﹣，
∴=．
（3）解：∵，
∴到平面PAD的距离d==．